控制之美．卷1，控制理论从传递函数到状态空间／王天威编著．－北京：清华大学出版社，2022. 7 ISBN 978-7-302-60975-9
工程控制论
自动控制原理

元件/算子/变换/系统的性质

函数是输入数值输出数值
泛函是输入序列（函数）输出数值
而这里是输入序列（函数）输出序列（函数）

在电路原理叫元件
在人工智能叫算子
在复变函数叫变换
在自动控制叫系统

因果性

输出，只与当前信息和以前的信息有关。

对于数字图像处理，显然可以没有因果性。

无记忆性

算子被贬为函数了
可以粗浅地理解为表达式只含有对u的代数运算，不含u的导数、u的积分等运算。
此时 $F (u)$ 可以理解成 $f (u (t))$

线性

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这不是函数的线性，而是变换的线性！

Y (u (n)) = u (t) \sin (\frac{2 π t}{9})

Y (a u_{1} (t) + b u_{2} (t)) = a Y (u_{1} (t)) + b Y (u_{2} (t))

也就是说， $t$ 在上式是不动的。Y是线性时变系统

时不变性（定常性）

输入时间延迟，输出时间也延迟，波形不变。

F (u (t - a)) = x (t - a)

Note

比方说，时钟并不会随着时间流逝而加快。（如果有，应该是谁拨快了时钟——随时间变化的参数介入，但又不像输入一样受到延迟——或许孤立系统都是时不变系统）

内稳性、渐进性、有界性、吸引性

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人话：考虑一个无输入（瞬时扰动消失并留下初态偏差）的状态空间方程表达式，经过足够长的时间，

若存在初态界限， $x (t_{0}) < δ (t_{0})$ 可以未来具有界限，系统终究不会跑远，则系统是李雅普诺夫意义下的稳定的。若 $δ$ 不依赖于 $t_{0}$ 则一致稳定。
若存在初态界限， $x (t_{0}) < δ (t_{0})$ 可以 $Δ x$ 未来趋近于零，系统终究能回到原来的平衡状态，则系统是渐进稳定的。若 $δ$ 不依赖于 $t_{0}$ 则一致渐进稳定。
若放开初态条件， $x (t_{0}) < \infty$ 都可以 $Δ x$ 未来具有界限，则系统是一致有界（全局稳定）的。
若放开初态条件， $x (t_{0}) < \infty$ 都可以 $Δ x$ 未来趋近于零，则系统是一致吸引（全局渐进稳定）的。
若不属于这样的情况， $Δ x$ 趋近于发散，回不到平衡了，则系统是不稳定的。

稳定性.png

数学话：李雅普诺夫意义下的稳定性——给定 $ϵ$ ， $δ$ 可求

\begin{aligned} 对 寻 常 状 况 & \forall t_{0} 和 给 定 未 来 界 限 \forall ε > 0 \\ 有 初 态 界 限 & \exists δ (ε, t_{0}) > 0 & 可 满 足 如 下 判 定 : \\ 取 系 统 初 态 & ‖ x (t_{0}) ‖ < δ, \\ 对 未 来 时 段 & \forall t ⩾ t_{0} \\ 得 系 统 状 态 & ‖ x (t, x_{0}, t_{0}) ‖ < ε, \end{aligned}

数学话：渐进稳定性

\begin{aligned} 对 寻 常 状 况 & \forall t_{0} \\ 有 初 态 界 限 & \exists δ (ε, t_{0}) > 0 & 可 满 足 如 下 判 定 : \\ 取 系 统 初 态 & ‖ x (t_{0}) ‖ < δ, \\ 得 状 态 收 敛 & lim_{t \to \infty} ‖ x (t) ‖ = 0 \end{aligned}

在这种情况下，称系统的平衡点 $x = 0$ 是（渐进）稳定的
如果 $δ$ 的选择不依赖于 $t_{0}$ 即 $δ = δ (ξ)$ 则平衡点 $x = 0$ 是一致（渐进）稳定的
若放开 $δ$ 即任意初态都可满足，则平衡点 $x = 0$ 是全局（渐进）稳定的

经典控制理论中，稳定专指渐进稳定，李雅普诺夫意义下稳定称为临界稳定或不稳定。

外稳性

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人话

系统的任意有界输入都产生的是有界状态，则系统有BIBS稳定性（有界输入有界状态稳定性）
系统的任意有界输入都产生的是有界输出，则系统有BIBO稳定性（有界输入有界输出稳定性）

数学话：输入状态稳定性

在有输入的情况下，
外稳不一定内稳，因为内部不稳定的子状态可能是不能观的，内部的不稳定不会体现在外界观测。
内稳则一定外稳。

无输入情况下，针对完全能控能观的线性系统，输入输出稳定、输入状态稳定、李雅普诺夫稳定，等价。

渐进稳定下，满足输入输出稳定。因可根据定义，得到冲激响应的积分（单位阶跃响应）有界。
临界稳定（非渐进稳定）下，不满足输入输出稳定。可以用有限的输入对系统造成共振。

能控性、能观性

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存在输入 $u (t)$
能在有限时间区间内
将系统的状态变量从

[现代控制理论2-4(2)] 系统能观性分析 - 知乎

一个时间连续的线性系统：

\begin{array}{r} \dot{\underset{―}{x}} (t) = \underset{―}{A} \underset{―}{x} (t) + \underset{―}{B} \underset{―}{u} (t) \\ \underset{―}{y} (t) = \underset{―}{C} \underset{―}{x} (t) + \underset{―}{D} \underset{―}{u} (t) \end{array}

在有限的时间间隔内
已知系统的输入量
测得系统的输出量
可以唯一确定系统的初始状态
那么就称这个时连系统是 完全可观（vollständig beobachtbar）的。

系统的表示

非线性系统分析，描述函数法中的等效线性环节、等效非线性环节，怎么求？ - 知乎
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线性时不变微分方程→传递函数

为什么传递函数只能描述线性定常系统而不适合时变系统？ - 知乎

我们只针对线性时不变系统用传递函数来表示（非线性系统可以使用描述函数）

定义：零初始条件下，输出拉氏变换和输入拉氏变换的比。

对于两个序列的关系，自然想到用微分方程表示。
我们对微分方程进行算子法表示，即拉普拉斯变换。
把输出拉氏变换除以输入拉氏变换，可以得到一个比值称为传递函数

\frac{X (s)}{U (s)} = G (s) = L (h (t))

有什么意义呢？根据拉普拉斯变换的卷积性质

U (s) G (s) = L (u (t) * h (t)) = X (s)

正好就是从冲激响应的角度对元件的理解。

对于线性系统：标准形式/有理分式形式/多项式形式

G (s) = \frac{X (s)}{U (s)} = \frac{b_{0} s^{m} + b_{1} s^{m - 1} + \dots + b_{m - 1} s + b_{m}}{a_{0} s^{n} + a_{1} s^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} s + a_{n}} = \frac{N (s)}{D (s)}

对于线性系统时域分析法：时间常数形式/典型环节形式/尾1形式。提取尾部系数

设 系 统 增 益 （ 放 大 系 数 ） K = \frac{b_{m}}{a_{n}}, G (s) = \frac{K \prod_{i = 1}^{m} (T_{i} s + 1)}{\prod_{j = 1}^{n} (T_{j} s + 1)}

对于线性系统根轨迹法：零极点增益形式/根的形式/首1形式。提取首部系数

\begin{array}{r} 设 根 轨 迹 放 大 系 数 K^{*} = \frac{b_{0}}{a_{0}}, G (s) = K^{*} \frac{\prod_{i = 1}^{m} (s + z_{i})}{\prod_{j = 1}^{n} (s + p_{j})} \end{array}

对于特征多项式
传递函数的分母 $D (s) = a_{0} s^{n} + a_{1} s^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} s + a_{n}$
由于现实中输出的阶次鲜有比输入的阶次高，特征多项式的阶次即称为系统的阶次
$D (s) = 0$ 称为特征方程，它的根 $p_{j}$ 即为系统的特征根，或者称为系统的极点

对于初始状态非零
初始输入非零，根据时不变性，可以视为初始输入为零，而经过瞬时阶跃变成非零
初始输出非零，则以一阶系统为例， $L^{- 1} [x (0)] = x (0) δ (t)$ ，初始输入受到一个瞬时冲激，不会影响到系统的稳定性分析与特征分析

六大典型环节（传递函数宜记忆）——比例、积分、微分、惯性、振荡、时滞

对于逆系统，即两个系统串联，传递函数互为相反数。

传递函数的图表示

特征多项式的唯一性

如果扰动量从上面进入（如图），则分母不变，分子加入 $\frac{N (s)}{W_{1} (s)}$

Pasted image 20250918104305.png

如果扰动量从下面进入，还是分母不变，分子加入 $- N (s) W_{f} (s)$

所以，分母不会变。

对于反馈连接：根轨迹法、奈奎斯特辅助函数法

定义开环传递函数 $W_{K} (s) = W_{1} (s) W_{2} (s) W_{3} (s) W_{f} (s)$ 。
注意，开环传递函数相当于切断最外层反馈，引入测试输入和测试输出，求测试环节的传递函数。
Pasted image 20250918103139.png

所以，下图的开环传递函数很容易搞错，不要把变位后的信号线也接入测试端！
Pasted image 20250918103336.png

对于负反馈连接的等效传递函数

G (s) = \frac{G_{1} (s)}{1 + G_{1} (s) G_{2} (s)} = \frac{G_{1} (s) \cdot \frac{1}{G_{2} (s)}}{G_{1} (s) + \frac{1}{G_{2} (s)}} = \frac{1}{\frac{1}{G_{1} (s)} + G_{2} (s)} = \frac{W_{g} (s)}{1 + W_{K} (s)}

Question

咋给我来个调和平均数？这是巧合还是可以联系到电路并联？我想到了运放的加法电路。梅逊增益公式的前身？

考虑根的形式表示的闭环系统， $\frac{K_{1} K_{2} N_{1} (s) N_{2} (s)}{D_{1} (s) D_{2} (s)}$ 为开环传递函数 $\frac{K_{g} N (s)}{D (s)}$ 。
Pasted image 20250917161512.png
于是等效传递函数

G (s) = \frac{G_{1} (s)}{1 + G_{1} (s) G_{2} (s)} = \frac{G_{1} (s)}{1 + \frac{K_{1} K_{2} N_{1} (s) N_{2} (s)}{D_{1} (s) D_{2} (s)}} = \frac{G_{1} (s)}{1 + \frac{K_{g} N (s)}{D (s)}}

即特征方程式

1 + \frac{K_{g} N (s)}{D (s)} = 1 + W_{K} (s) = 0

一方面，可以化为根轨迹方程

\frac{N (s)}{D (s)} = \frac{\prod_{i = 1}^{m} (s + z_{i})}{\prod_{j = 1}^{n} (s + p_{j})} = - \frac{1}{K_{g}}

另一方面，我们把 $1 + W_{K} (s)$ 称为奈奎斯特辅助函数（特点：零点和极点个数相同？）。闭环控制系统稳定的充要条件变为：辅助函数的全部零点必须都在复平面的左侧。

F (s) = 1 + W_{K} (s) = | F_{(} s) | e^{j ∠ F (s)}

对于复杂线性系统：梅逊增益公式

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“信号与系统界的基尔霍夫”
物理竞赛喜欢出大规模电路网络题目，往往可以用节点电流法解出。对于信号流图网络呢？

简略形式：叠加原理罢了

特征多项式的求取：啊？拓扑学吗？

多阶系统一阶化→状态空间模型

微分代数方程的状态空间方法—Wolfram Documentation
由微分方程求状态空间表达式（精） - 豆丁网
 如何把高阶微分方程化成一阶微分方程组? - 知乎
 《现代控制理论》之状态观测器 - 知乎
 非线性系统学习笔记：（一）基础1_非线性状态空间方程-CSDN博客
 CH1. 系统的状态空间模型 - 控制理论笔记 Automation

例如，MATLAB的ode45求解器只支持一阶微分方程
我要模拟下面的微分方程表示的系统， $x$ 是输入， $y$ 是输出

\begin{array}{r} {\begin{cases} \dot{x} = - x - y - (3 x)^{2} + (y^{3})^{3} + 6 y^{2} + 2 t \\ y^{(3)} = - \dot{y} - \dot{x} - e^{- x} - t \\ x (1) = 2, \dot{x} (1) = 4 \\ y (1) = - 2, \dot{y} (1) = 7, \dot{y} (1) = 6 \end{cases} \end{array}

把每一阶导数设为一个独立的状态量
化为一阶系统

x = z_{0} \to z_{1} \to z_{2} = y

y = z_{2} \to z_{3} \to z_{4} \to \frac{d z_{5}}{d t} = y^{(3)}

于是化为一阶的向量微分方程（向量有初始值）

# 定义微分方程函数
def odefun(t, z):
    dzdt = np.zeros(5)
    dzdt[0] = z[1]
    dzdt[1] = -z[0] - z[2] - (3*z[1])**2 + (z[3])**3 + 6*z[4] + 2*t
    dzdt[2] = z[3]
    dzdt[3] = z[4]
    dzdt[4] = -z[4] - z[1] - np.exp(-z[0]) - t
    return dzdt

指定输入量 $x = z_{0}$ ，指定状态量 $\vec{z} = [z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}]^{T}$ ，把某种函数关系表示的方程组（不考虑噪声）

{\begin{cases} \frac{d z}{d t} = f_{?} (x, \vec{z}) \\ y = z_{2} = f_{?} (x, \vec{z}) \end{cases}

称为状态空间方程。
$y = z_{2}$ ，这显然就是没有涉及状态观测器的情况。经典控制理论中的反馈是输出反馈，输出直接可以测量，还观测个屁(ᗜˬᗜ)
可惜这不是线性系统，否则，线性系统就可以用矩阵表示了

\begin{aligned} \frac{d z (t)}{d t} & = A z (t) + B u (t) \\ y (t) & = C z (t) + D u (t) \end{aligned}

A是状态矩阵
B是输入矩阵
C是输出矩阵
D是直接传递矩阵
于是无论多复杂的系统，都可以变成一个前向元件和一个反向元件共同作用的结果。

米利型状态机

关于摩尔型状态机与米利型状态机的区别_状态机米勒和摩耳的优缺点-CSDN博客
MEALY
【数电】时序电路的三个方程：驱动、状态、输出_数电状态方程和输出方程-CSDN博客
从数字电路得到的启发。组合逻辑电路，是次态逻辑和输出逻辑的粘连
时序电路的状态模型
上标方括号，表示数组取元素。 $f_{?}$ 意思是有函数关系

驱 动 方 程 ： z^{[n]} = f_{?} (x^{[n]}, q^{[n]})

状 态 方 程 ： q^{[n]} = f_{?} (z^{[n]}, q^{[n - 1]})

输 出 方 程 ： y^{[n]} = f_{?} (x^{[n]}, q^{[n]})

状态空间模型（SSM）-CSDN博客
 状态空间模型（State space midel, SSM） - 知乎

SSM

状 态 变 量 ： z^{'} = f_{?} (u, z, ω) ， ω 是 噪 声

观 测 输 出 ： y = f_{?} (u, z, e) ， e 是 噪 声

相比于时序电路，状态方程把驱动方程吸收进去了

z^{[n]} = f_{?} (f_{?} (u, z), z^{[n - 1]})

z^{[n]} - z^{[n - 1]} = f_{?} (u, z)

摩尔型状态机

关于摩尔型状态机与米利型状态机的区别_状态机米勒和摩耳的优缺点-CSDN博客
MOORE

状态空间模型（State space midel, SSM） - 知乎
 状态空间模型（SSM）-CSDN博客

状态空间模型

状 态 变 量 ： z^{'} = f_{?} (z, u, ω) ， ω 是 噪 声

观 测 输 出 ： y = f_{?} (_, z, v) ， e 是 噪 声

摩尔型状态机，输出不受输入影响。也就是直接传递矩阵为零。

再论“特征”

如何证明矩阵指数e^At的Laplace变换是(sI-A)的逆？ - 知乎
 线性代数精华——矩阵的特征值与特征向量 - 知乎
 证明：矩阵多项式的特征值是其特征值多项式_矩阵多项式的特征值和矩阵特征值的关系-CSDN博客

Question

或许能用“线性微分方程的克拉默法则”为突破口，把微分方程的特征多项式和系统的、矩阵的特征多项式都串在一起！
常数变易法，就是克拉姆法则？

从状态空间方程回到传递函数，拉氏变换后解方程

{\begin{cases} s Z (s) = A Z (s) + B U (s) \\ Y (s) = C Z (s) + D U (s) \end{cases}

解出Z，代入Y，则是（分式表示逆矩阵，I表示单位矩阵，星号是伴随矩阵）

\frac{Y (s)}{U (s)} = C (s I - A)^{- 1} B + D = C \frac{(s I - A)^{*}}{| s I - A |} B + D

对于输出量少于状态量的情况，即是C和D的秩比A和B更少的情况。有意思的是 $L [e^{A t}] = (s I - A)^{- 1}$

这里经过了多阶系统一阶化，比经典方法多几个状态变量，传递函数的形式并没完美等价。
我们知道矩阵的特征多项式 $| A - λ I | = det (A - λ I)$ 为零的根就是特征值 $λ$
分母 $| s I - A |$ 就是特征多项式！分母为零的根就是传递函数的极点 $s$
因此分析状态矩阵 $A$ 的特征值也可以判断系统的稳定性。（状态稳定，显然输出也稳定）

相平面与相空间

第二讲相平面法一 - 知乎

只要是各个状态变量作为坐标轴的平面都可以作为相平面，无论是 $x - y$ 还是 $x - \frac{d x}{d t}$

Note

交流电路的复平面可以视为相平面。
中学物理竞赛典型的“蚂蚁问题”，画出 $x - v$ 图其实就是典型的相平面。
而种群问题建模的曲线（种群数量——增长率曲线）可以视为非典型的相平面吧。

例子：二阶线性系统。过阻尼、欠阻尼、临界阻尼，相轨迹如下

Pasted image 20250918002518.png

然后提一些概念。

相轨迹不交叉：从一个状态到另一个状态，只会有一个确定的过程，否则就是平行宇宙了
平衡点（奇点）：相轨迹的相交点，系统抵达此处便不再运行，处于平衡状态。相轨迹在此处的切线斜率不定，即 $\frac{0}{0}$
特征区：人为划分的，相轨迹具有共性的区域（就像一簇一簇的纤维丛一样……）
调节时间：走过一段相轨迹，即从一个状态到另一个状态度过的时间

非线性系统时域近似→李雅普诺夫第一法

在 Simulink 中设计 LQR 伺服控制器 - MATLAB & Simulink

以倒立摆为例，写出状态空间方程， $u$ 为输入的外力

\frac{d}{d t} [\begin{matrix} θ \\ \dot{θ} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \dot{θ} \\ \frac{m g l}{J_{t}} s i n θ - \frac{γ}{J_{t}} \dot{θ} + \frac{l}{J_{t}} c o s θ \cdot u \end{matrix}]

简化模型：无外力输入、转动惯量 $J = 1$ ，旋转摩擦系数 $γ = 1$

[\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} (t) \\ {\dot{x}}_{2} (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} x_{2} \\ s i n (x_{1}) - x_{2} \end{matrix}]

先用MATLAB看一看相轨迹吧

对于特定的平衡点，不考虑稳定性，自然可以直接令导数为零求解

[\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} x_{2} \\ s i n (x_{1}) - x_{2} \end{matrix}]

得到平衡点 ${[\begin{matrix} \pm n π & 0 \end{matrix}]}^{'}$

李雅普诺夫第一法：线性近似

倒立摆系统显然是非线性系统

\begin{aligned} {\dot{x}}_{1} (t) & = x_{2} \\ {\dot{x}}_{2} (t) & = s i n (x_{1}) - x_{2} \end{aligned}

李雅普诺夫第一法就是在微扰动情况下把非线性方程线性化。现在我们以已知平衡点 ${[\begin{matrix} π & 0 \end{matrix}]}^{'}$ 为例分析，考虑相对坐标 $z_{1} = x_{1} - π, z_{2} = x_{2}$ ，进行一阶线性近似（切线/一阶泰勒）

s i n (π + z_{1}) = - s i n z_{1} \approx - z_{1}

非线性方程近似为

[\begin{matrix} \dot{z_{1}} \\ \dot{z_{2}} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} z_{1} \\ z_{2} \end{matrix}]

非线性系统频域近似→描述函数（谐波平衡法）

非线性控制（四）描述函数法 - 知乎

本质非线性：不连续的非线性，饱和、死区、开关、间隙、滞后、奇怪的间断点
非本质非线性：连续的非线性，只是直线变成了曲线

描述函数法是一种近似方法，相当于线性理论中频率法的推广。方法不受阶次的限制。

设非线性系统可以拆分成线性元件和非线性元件，如图（串联顺序也可能相反）

Pasted image 20250917155228.png

描述函数是对非线性特性在正弦信号作用下的输出，进行谐波线性化处理之后得到的

稳定性分析

控制系统稳定性判断 - 知乎

时域响应分析

阶跃响应，即目标量突变，系统对这个情况的行为
例子：一个电容，此前没有电量，然后立即充电
例子：一个弹簧，此前用手压缩，然后立即松开
时域响应分析，其实就是用拉普拉斯法（算子法）解微分方程的过程。

BIBO稳定性判据

信号与系统：BIBO稳定性判据 - 技术教程
 有界输入有界输出稳定性-数学百科

\int_{0}^{\infty} | h (t) | d t < \infty

根的判据

高等代数（二）预习——4、唯一因式分解定理 - Halifuda - 博客园

典型二阶系统的时域动态特性可知，稳定性还是要看特征根在平面的位置

$ξ > 0$ 时，系统的极点均位于左半平面， $R e (s) < 0$ ，系统的动态过程呈现指数衰减或衰减振荡，系统是渐进稳定的；
$ξ < 0$ 时，系统的极点位于右半平面， $R e (s) \geq 0$ ，系统的动态过程呈现发散振荡，系统是不稳定的；
$ξ = 0$ 时，系统的极点位于虚轴， $R e (s) = 0$ ，系统的动态过程呈现等幅振荡，系统是李雅普诺夫意义下的稳定的。

对于高阶系统传递函数，都可通过因式分解拆分成多个一阶系统和二阶系统。

\begin{aligned} X (s) & = G (s) \\ = \frac{(s - s_{21}) (s - s_{22}) \dots (s - s_{s n})}{((s - s_{p i}) (s - s_{p i}) \dots (s - s_{p i})) ((s - σ_{1} \pm i ω_{1}) (s - σ_{2} \pm i ω_{2}) \dots (s - σ_{r} \pm i ω_{r}))} \end{aligned}

解微分方程可得

\begin{array}{r} x (t) = \sum_{i = 1}^{q} a_{i} e^{s p^{i} t} + \sum_{k = 1}^{r} b_{k} e^{σ_{k} t} \sin (ω_{k} t + φ_{k}) \end{array}

因此对于高阶系统，关键看极点的实数部分 $s$ 和 $σ$

所有极点位于左半边，衰减，渐进稳定；
存在极点位于右半边，发散，不稳定；
存在极点位于虚轴，振荡或趋于常数（稳态误差），李雅普诺夫意义下稳定。

也可以把多阶微分方程一阶化状态空间方程的形式，发现状态矩阵（应该是赫尔维茨矩阵，下面来探讨）

特征值判据

周彬《线性系统理论》第3章3.2节：稳定性直接判据 - 知乎
 CH1. 系统的状态空间模型 - 控制理论笔记 Automation
矩阵指数 - 知乎

线性系统的状态空间方程通过矩阵微分方程求解，可以变成这样（推导略）

z (t) = e^{A (t - t_{0})} z (t_{0}) + \int_{t_{0}}^{t} e^{A (t - t)} B u (τ) d τ

因此对于状态空间方程，关键看状态矩阵 $A$ 和 $A$ （用特征值分解计算矩阵的指数）

特征值实部全为负，衰减，渐进稳定；
特征值实部存在正，发散，不稳定；
存在特征值实部为零，振荡或趋于常数（稳态误差），李雅普诺夫意义下稳定。

也可以把状态空间方程还原成矩阵传递函数的形式，发现特征多项式即为 $| s I - A |$ ，特征根 $s$ 即为 $A$ 的特征值。

劳斯——赫尔维茨判据

1.5~1.6赫尔维茨多项式、劳斯–赫尔维茨判定 - 知乎
 （十三）判断稳定性：劳斯判据 - 知乎
 赫尔维茨定理_百度百科
 二次型与正定性 - 知乎
 线性代数学习笔记——第六章学习指南——二次型与二次曲面_根据二次型求对应曲线的方法-CSDN博客
 6 二次型与二次曲面
 《常微分方程及其稳定性》（二） - 知乎
 Routh-Hurwitz准则——判别实系数多项式有无实部非负的根的充要条件 - 知乎
 劳斯–赫尔维茨稳定性判据-数学百科
 劳斯阵列的推导-数学百科
 第四章-控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 | EpsilonJohn's Blog

哈尔滨工程大学刘胜的自动控制原理，书后附录有证明，当然我觉得还可以看看原论文，现在书上应该会列出参考文献

从状态空间方程到状态转移矩阵，和从传递函数到特征多项式的赫尔维茨矩阵，殊途同归于“判断矩阵正定性”，但是
到这里证明就难了，虽然也是对于正定性的判断，但是对于特征方程，已经丢失了很多信息

a_{0} s^{n} + a_{1} s^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} s + a_{n} = 0

赫尔维茨矩阵（转置后写法）

Γ_{f}^{T} = [\begin{matrix} a_{1} & a_{0} & 0 & 0 & . . . & 0 & 0 & 0 \\ a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & . . . & 0 & 0 & 0 \\ a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & . . . & . . & . . & . . \\ . . & . . & . . & . . & . . . & . . & . . & . . \\ . . & . . & . . & . . & . . . & a_{n} & a_{n - 1} & a_{n - 2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & . . . & 0 & 0 & a_{n} \end{matrix}]

赫尔维茨行列式

D = | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} & a_{5} & \dots & 0 \\ a_{0} & a_{2} & a_{4} & \dots & 0 \\ 0 & a_{1} & a_{3} & \dots & 0 \\ 0 & a_{0} & a_{2} & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \dots & \dots & 0 \\ 0 & \dots & \dots & a_{n - 1} & 0 \\ 0 & \dots & \dots & a_{n - 2} & a_{n} \end{matrix} |

这个n阶行列式的构造方法如下：

在主对角线上，从 $a_{1}$ 开始依次写入特征多项式系数，直至 $a_{n}$ 为止。
在每一列内从上到下按下标递减的顺序填入其他系数。 $a_{0}$ 以下用0补齐。
或者从另一个角度看待，135、024……奇数项和偶数项分列排开。

赫尔维茨稳定判据：特征方程式的全部根都在左半复平面，的充分必要条件是，上述行列式的各阶主子式均大于0——赫尔维茨矩阵是正定矩阵。

\begin{array}{r} D_{1} = a_{1} > 0, D_{2} = | \begin{array}{c} a_{1} & a_{3} \\ a_{0} & a_{2} \end{array} | > 0, D_{3} = | \begin{array}{c} a_{1} & a_{3} & a_{3} \\ a_{0} & a_{2} & a_{4} \\ 0 & a_{1} & a_{3} \end{array} | > 0, \dots, D_{s} = D > 0 \end{array}

Note

我们经常使用矩阵的正定性判断二次型（二次曲面）的“形状”。
在这里我们拿它来判断二次方程的根的分布，估计是可以通过状态空间方程法把多项式降阶。

劳斯表和劳斯判据可以简化运算。

用劳斯表表示： $b_{1} = D_{2} / D_{1}, c_{1} = D_{3} / D_{2}, \dots, g_{1} = D_{n} / D_{n - 1}$

劳斯判据：特征方程式的全部根都在左半平面的充分必要条件是劳斯表的1列系数全部是正数。

谢绪恺——聂义勇判据

1976-024.pdf

根全部具有负实部的必要条件为 $a_{i} a_{i + 1} > a_{i - 1} a_{i + 2}$
根全部具有负实部的充分条件为 $0.465 a_{i} a_{i + 1} > a_{i - 1} a_{i + 2}$

频域响应分析

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 复阻抗法求解传递函数_复阻抗法求传递函数-CSDN博客

引理：对于线性时不变系统，输入复指数量（正弦波），输出频率相等的复指数量（正弦波）

傅里叶变换的微分性质和复指数函数的微分性质形式相似
对复指数量取微分， $(e^{j ω t})^{'} = j ω e^{j ω t}$
等式两端取变换， $F [(e^{j ω t})^{'}] = j ω F [e^{j ω t}]$
这么一搞，无论是 $e^{j ω t}$ 部分还是 $F [e^{w t}]$ 部分都成了摆设，在做比值的时候可以被自然消去

\frac{\tilde{X}}{\tilde{U}} = \frac{b_{m} (j ω)^{m} + . . . + b_{1} (j ω) + b_{0}}{a_{n} (j ω)^{n} + . . . + a_{1} (j ω) + a_{0}} = A (ω) e^{j ϕ (ω)} = P (ω) + j Q (ω)

于是，输出量的复数表示的比值、输出量的频域表示的比值，恰好相等，正是传递函数（ $s = j ω$ ）。其中 $A (ω)$ 为辐频特性， $ϕ (ω)$ 为相频特性。 $P, Q$ 为实部和虚部的表示形式。

奈奎斯特判据

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 放大器的传递函数基础、幅值裕度 & 相位裕度的概念 - 知乎

考虑一个闭环系统，仍然根据：系统稳定的充分必要条件是闭环传递函数的极点均在 s 左半平面

Pasted image 20250919083203.png

奈奎斯特辅助函数 F(s) 和传递函数一样，是一个对复数的映射，从复数域映射到复数域。
映射定理：在 s 平面上如闭合路径顺时针包围 F(s) 的P 个极点、Z 个零点，则在 F(s) 平面上对应有一条闭合路径围绕原点逆时针旋转的圈数为N, 则有 N=P-Z

用留数法可以理解，例如在s顺时针包围一个极点，在F(s)就顺时针包围无穷远点，等价于在F(s)逆时针包围原点。

奈氏稳定判据一：如果开环系统是稳定的，那么闭环系统稳定的条件是：当 $ω$ 由 $- \infty$ 变到 $+ \infty$ 时，开环频率特性在复数平面的轨迹 $W_{K} (j ω)$ 不包围 $(- 1, j 0)$ 这一点。
奈氏稳定判据二：如果开环系统是不稳定的，开环系统特征方程式有P个根在右半s平面上，则闭环系统稳定的充要条件是：当 $ω$ 由 $- \infty$ 变到 $+ \infty$ 时，开环频率特性的轨迹在复平面上应逆时针
围绕 $(- 1, j 0)$ 点转 P 圈。否则闭环系统是不稳定的。

由于奈奎斯特判据的关键点在 $(- 1, j 0)$ ，定义稳定裕度判断轨迹与该点的距离
相位裕度：规定当 $| W_{K} (j ω_{c}) | = 1$ 时的 $∠ W_{k} - π$ 为相位裕度PM
增益裕度：规定当 $∠ W_{K} (j ω_{j}) = - π$ 时的 $\frac{1}{| W_{K} |}$ 为增益裕度GM

稳定系统的稳定裕度

不稳定系统的稳定裕度

伯德图判据

广义能量分析

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李雅普诺夫直接法/第二法

预备知识：函数性质

$K$ 类函数（什么鬼名字，有点像高中多阶导数题的“摆尾”）：正半轴零初始点的增函数
$K_{\infty}$ 类函数：最终趋近于正无穷的K类函数

函数的正定性（应该就是凹凸性吧）： $W (x) 是正定函数当且仅当存在 ϕ_{1} (r), ϕ_{2} (r) \in K, 使得 ϕ_{1} (∥ x ∥) \leq W (x) \leq ϕ_{2} (∥ x ∥)$

正定 (positive definite), 若 $\forall x \neq 0 : W (x) > 0, 且 W (0) = 0$
半正定 (positive semi-definite), 若 $\forall x \neq 0 : W (x) \geq 0, 且 W (0) = 0$
负定 (negative definite), 若 $\forall x \neq 0 : W (x) < 0, 且 W (0) = 0$
半负定 (negative semi-definite), 若 $\forall x \neq 0 : W (x) \leq 0, 且 W (0) = 0$
不定 (indefinite), 若其可正可负。
这么说的话，可以根据原点Hessian矩阵的正定性推断函数的正定性。

函数的径向无界性： $W (x) 是径向无界正定函数当且仅当存在 ϕ_{1} (r), ϕ_{2} (r) \in K_{\infty}, 使得 ϕ_{1} (∥ x ∥) \leq W (x) \leq ϕ_{2} (∥ x ∥)$ （等价于 $lim_{∥ x ∥ \to \infty} W (x) = + \infty$ ）

若引入时间量，如 $V (t, x)$ ，则上述定义是发生在 $t_{0}$ 时刻之后 $\forall (t, x) \in [t_{0}, + \infty) \times R^{n}$ 都成立的。

集合乘法即为配对

笛卡尔乘积_百度百科
乘积A×B是一个新的集合，包含了所有可能的有序对 (a, b)，其中a∈A，b∈B。

开始构造：能量函数

李雅普诺夫函数 - 维基百科，自由的百科全书
 如何构建李雅普诺夫方程（或者说有什么构建方程的技巧吗）？ - 知乎
构造一个标量函数——能量函数，满足规定

正定函数（除 x=0 外严格为正）
以 t 为自变量时单调下降， ${\frac{d V (t, x)}{d t} |}_{(1)} = \frac{\partial V (t, x)}{\partial t} + \frac{\partial V (t, x)}{\partial x} f (t, x) \leq 0, t > t_{0}$
这两个规定，是为了证明稳定性做准备的，不满足这两个规定的函数不可能对我们有帮助。

李雅普诺夫主稳定性定理，让我们考虑两个量

候选函数 $V$
候选函数的时间导数 $\dot{V} = \frac{d V}{d t} = \nabla V \dot{x} = \nabla V f (x)$


李雅普诺夫稳定	邻域内	$V$ 正定	$\dot{V}$ 半负定
渐近稳定	邻域内	$V$ 正定	$\dot{V}$ 负定
全局李雅普诺夫稳定	整个空间	$V$ 正定	$\dot{V}$ 半负定	$V$ 径向无界
全局渐近稳定	整个空间	$V$ 正定	$\dot{V}$ 负定	$V$ 径向无界

若要证明一致稳定性，要让 $V (t, x)$ 多一个对 t 上界的条件？此话怎讲？

LaSalle's Theorem Invariance Principle

1. $V$ 是正定的
2. $\dot{V}$ 是半负定的，但是除了零点之外均不为0
这样系统也是渐进稳定的

Example

$\begin{aligned} {\dot{x}}_{1} (t) & = x_{2} - x_{1} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) \\ {\dot{x}}_{2} (t) & = - x_{1} - x_{2} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) \end{aligned}$

如果我们定义李雅普诺夫函数（瞪眼法，就像积分因子法解微分方程一样瞪）

V (x) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

验证

\begin{aligned} \dot{V} (x) & = 2 x_{1} {\dot{x}}_{1} + 2 x_{2} {\dot{x}}_{2} \\ = - 2 (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})^{2} \end{aligned}

显然当 $x \neq 0$ 时，有 $\dot{V} (x) < 0$ ，所以系统是渐进稳定的。

形象地思考：位置上正定，势能是凹的；速度上负定，动能是凸的

如果能合理的选定李雅普诺夫函数，则非常容易的判断系统的稳定性。
不过遗憾的是，对于复杂的系统，李雅普诺夫函数的选择或者说寻找可以称得上一门玄学。
构造李雅普诺夫函数的方法：凑合Lyapunov函数法、倒推Lyapunov函数法、Krasovski方法
所以，对于工程师而言，还是喜欢李雅普诺夫第一法。

对于线性时不变系统：赫尔维茨矩阵与李雅普诺夫方程

线性系统（Linear Systems）—3.6 线性定常系统的稳定性 - 知乎
 线性代数 | 李雅普诺夫方程
 最优控制公式推导（代数里卡提方程，李雅普诺夫方程，HJB方程）最优控制are-CSDN博客

线性时不变系统用状态矩阵表示

\dot{x} = A x

其通解为

x (t) = e^{A t} x (0) = T diag {e^{J_{1} t}, e^{J_{2} t}, \dots, e^{J_{r} t}} T^{- 1} x (0)

线性定常系统的零解是

Lyapunov 稳定的, 当且仅当 $Re (λ_{i}) \leq 0$ , 且若 $Re (λ_{i}) = 0$ ,则 $m_{i} = 1$ 。
全局（一致）渐近稳定的，当且仅当 $Re (λ_{i}) < 0$ 。赫尔维茨矩阵！
全局（一致）指数稳定的, 当且仅当 $Re (λ_{i}) < 0$ 。

当 $Re (λ_{i}) < 0$ , 即其特征根均具有负实部, 则矩阵 A 称为 Hurwitz 矩阵——赫尔维茨矩阵。此时系统全局一致指数稳定。

A 称为 Hurwitz 矩阵，当且仅当：
对任给的正定对称矩阵 Q, 存在满足 Lyapunov 方程 $P A + A^{T} P = - Q$ 的正定对称矩阵 P, 且 P 是方程的唯一解。对于离散线性时不变系统则是 $A^{T} P A - P = - Q f o r x_{t + 1} = A x_{t}$

换句话说，若存在正定矩阵P满足 $A^{T} P + P A = - Q$ （Q正定），则系统稳定。

充分性 线性定常系统的渐近稳定性等价于存在一个二次型的 Lyapunov 函数，可以就此把 Lyapunov 函数确定出来。

P A + A^{T} P = - Q \Rightarrow V (x) = x^{T} P x \Rightarrow \dot{V} (x) = {\dot{x}}^{T} P x + x^{T} P \dot{x} = - x^{T} Q x

必要性 考虑如下矩阵微分方程和它的解

\dot{X} = A^{T} X + X A, X (0) = Q, t \geq 0 \Rightarrow X (t) = e^{A^{T} t} Q e^{A t}, t \geq 0

对矩阵微分方程积分

X (\infty) - X (0) = A^{T} (\int_{0}^{\infty} X (t) d t) + (\int_{0}^{\infty} X (t) d t) A

配凑李雅普诺夫方程形式，构造 $P = \int_{0}^{\infty} X (t) d t$ ，而 $X (\infty)$ 因系统的渐进稳定性为零
只需证明 $P$ 是正定的。说明对称性如下

P^{T} = \int_{0}^{\infty} [e^{A^{T} t} Q e^{A t}]^{T} d t = \int_{0}^{\infty} e^{A^{T} t} Q e^{A t} d t = P

且 $x_{0} \neq 0$ 时，结合 $Q$ 的正定性，得到下式可以得出 $P$ 是正定的，必要性成立。

x_{0}^{T} P x_{0} = \int_{0}^{\infty} (e^{A t} x_{0})^{T} Q (e^{A t} x_{0}) d t > 0

波波夫超稳定性理论

波波夫 (POPOV)超稳定性理论该怎么理解？ - 知乎

控制器校正

观测器

(7 封私信) 【现代控制理论】状态观测器——龙伯格观测器（Luenberger observer） - 知乎
 【现代控制理论笔记】——第六章：状态观测器-CSDN博客

基本性质

[现代控制理论2-4(2)] 系统能观性分析 - 知乎
 线性系统理论（三）能控性与能观性 - 知乎

强化学习与状态

Agent-Environment
控制器就是智能体
状态空间模型是描述环境或智能体的有力手段。以环境作研究对象为例

状态 $S_{t}$ 是观测方程（观测通常表示不完整输入）
动作 $A_{t}$ 是输入变量
奖励是评判学习的指标，平常其实不该是传给智能体本身的，而是只有在训练框架下起作用

随机微分方程与随机系统

概率状态空间模型

#概率状态空间模型
 滤波估计理论（一）——贝叶斯滤波_bayesian filtering and smoothing-CSDN博客
 随机控制理论_百度百科
任何设备都有不确定性（物理实验中叫不确定度），于是我们从条件概率的视角看待状态空间模型

{\begin{cases} x_{k} & \sim p (x_{k} | x_{0 : k - 1}, z_{1 : k - 1}) \\ z_{k} & \sim p (y_{k} | x_{0 : k}, z_{1 : k - 1}) \end{cases}

Note

行业黑话：在概率模型中，波浪线符号“∼”通常表示“服从某种分布”
即 xₖ 的取值由给定过去状态 x₀:ₖ₋₁ 和过去观测 z₁:ₖ₋₁ 的条件分布生成。
即 zₖ 由当前状态 x₀:ₖ 和过去观测 z₁:ₖ₋₁ 的条件分布生成。
p是一种分布，本质上也是概率构成的一个函数，而函数的本质可以是序列

简化成隐马尔可夫模型：

状态 $x_{k}$ 只和前一个给定时刻状态有关（马尔可夫性）
量测 $z_{k}$ 只和当前状态有关（条件独立性）
即

\begin{array}{r} {\begin{cases} x_{k} \sim P (x_{k} ∣ x_{k - 1}) \\ z_{k} \sim P (z_{k} ∣ x_{k}) \end{cases} \end{array}

顺序数据：状态空间模型_状态空间模型(state space models,ssm)举例说明-CSDN博客
这其实是一个马尔可夫链

最优参数整定器

最优控制理论_百度百科

自适应参数整定器

适应控制系统_百度百科

元件/算子/变换/系统 的性质

因果性

无记忆性

线性

时不变性（定常性）

内稳性、渐进性、有界性、吸引性

外稳性

能控性、能观性

系统的表示

线性时不变微分方程→传递函数

传递函数的图表示

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对于反馈连接：根轨迹法、奈奎斯特辅助函数法

对于复杂线性系统：梅逊增益公式

多阶系统一阶化→状态空间模型

再论“特征”

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非线性系统时域近似→李雅普诺夫第一法

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