Summary

关于未知，序列信号的预测（生成）。马尔可夫预测、灰色预测
预测类文章常常提到的“加权移动平均”，其实公式上更像“AR自回归”，而不是“MA移动平均”。因为这根本不是预测模型，而是序列的预处理，是平滑方法！
15种时间序列预测方法总结(包含多种方法代码实现)-CSDN博客

graph LR
n((Noises)) -.-> G[Generator] --> p((Prediction))

1. 滤波（Filtering）——活在当下：利用当前和过去的数据，估计当前状态。
2. 预测（Prediction）——展望未来：基于当前和过去的数据，推测未来状态。
3. 平滑（Smoothing）——复盘过去：利用全部数据，优化全部状态的估计。

对，但不完整。滤波是在线调用的元件（信号变换器），预测是在线调用的元件（信号发生器），平滑是离线调用的静态方法。

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ARIMA

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严平稳：所有统计性质（期望、方差）都不随时间推移而变化。
宽平稳：期望与相关系数（依赖性）不变，就是说 t 时刻的值 X 依赖于过去的信息。

对于数据，使用ADF检验，检测是否满足平稳性。
若不满足，则进行一次差分得到差分序列，再次检验
若满足，则我们成功用了差分把非平稳序列转化为平稳序列，接下来套用ARMA模型。
记差分次数为d。

ADF检验

ARMA

其实就是IIR

一个平稳的ARMA模型，等价为一个稳定的IIR滤波器对着白噪声进行滤波，输入波形即为随机误差 $ϵ$

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Excalidraw Data

Text Elements

CONV
CONV
FIR
IIR
CONV
原始信号
滤波信号
也是生成/预测信号
AR
生成/预测信号
原始信号
+
+
噪声信号
CONV
噪声信号
MA
噪声信号
相当于对着噪声来FIR滤波
CONV
ARMA
CONV
+
噪声信号
生成/预测信号
噪声信号
ARIMA，是先把非平稳序列作多阶差分后再代入ARMA模型
多阶累加
生成/预测差分
生成/预测信号
噪声信号
相当于对着噪声来IIR滤波

$y$ 是输出波形，其他符号解释看下面

\begin{array}{r} y_{t} = μ + \sum_{i = 1}^{p} γ_{i} y_{t - i} + ϵ_{t} + \sum_{i = 1}^{q} θ_{i} ϵ_{t - i} \end{array}

可以拆分为两部分
自回归模型AR。自回归，不是线性回归，而是反馈调节。 $p$ 是自回归阶数， $γ$ 是自相关系数（AR模型的参数）

\begin{array}{r} y_{t} = μ + \sum_{i = 1}^{p} γ_{i} y_{t - i} + ϵ_{t} \end{array}

VAR向量自回归

自回归模型的联立形式（矩阵形式）

移动平均模型MA。移动平均，不是边移动边平均，而是扰动叠加。 $q$ 是移动平均阶数， $θ$ 是移动平均系数（MA模型的参数）

\begin{array}{r} y_{t} = μ + ϵ_{t} + \sum_{i = 1}^{q} θ_{i} ϵ_{t - i} \end{array}

AR、MA、ARMA，本质是一个生成器模型，也就是波形发生器。我们对这个生成器的参数进行整定，让其尽量与现有数据吻合。

采用多元线性回归。

SARIMA

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灰微分方程预测（灰色预测）

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灰色系统的定义就是废话。全部知道的东西你研究什么？全部不知道的东西你研究什么？

灰微分方程与灰色预测的原理

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我们先看寻常的数学物理模型。物理学模型，基于机理的模型，基本都是以微分方程的形式表示的。
当然，正常的微分方程都是基于某个机理的，要么是学过的，要么是推导和证明的，要么是量纲分析、极限思想得来的（物理奥赛爱考）
而我们这里说的“灰微分方程预测”是拿着一串数列，主观选择微分方程的形式，再进行参数整定，瞎蒙出来的微分方程。
以一阶一元微分方程为例。 $G M (1, 1)$ 模型，第一个‘1’表示微分方程是一阶的，后面的‘1’表示只有一个变量，对应的机理方程称为白化微分方程。

\begin{array}{r} \frac{d x^{(1)} (t)}{d t} = - \bar{a} x^{(1)} (t) + \hat{b} \end{array}

灰建模的初衷是对数列建立近似的微分方程模型。由于微分方程只适合连续可微函数，而数列非连续，更谈不上可微性，因此灰建模得到的是近似微分方程，称之为灰微分方程。

\begin{array}{r} x^{(0)} (k) + a z^{(1)} (k) = b \end{array}

注意！ $x^{(k)}$ 为数列的 $k$ 阶累加，不是微分或者导数！ $x^{(0)}$ 也就是 $x^{(1)}$ 的差分
$z$ 为 $x$ 的紧邻均值生成数列（加权邻值生成数列），也就是 $x$ 的同阶的一个偏移（通常取 $δ = 0.5$ ）

\begin{array}{r} z^{(1)} (m) = δ x^{(1)} (m) + (1 - δ) x^{(1)} (m - 1), m = 2, 3, \dots, n \end{array}

白化微分方程怎么近似为灰微分方程？除了看直觉，还看下面

x^{(0)} (k) = Δ x^{(1)} (k) = （ 牛 - 莱 公 式 ） \int_{k - 1}^{k} \frac{d}{d t} x^{(1)} (t) d t

\begin{array}{r} z^{(1)} (k) |_{δ = 0.5} = \frac{x^{(1)} (k) + x^{(1)} (k - 1)}{2} \times 1 \approx （ 有 点 像 积 分 中 值 定 理 ） \int_{k - 1}^{k} x^{(1)} (t) d t \end{array}

我感觉，即使 $δ = 1, x = z$ ，也没啥毛病，还更直观。
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GM(1,1)模型适用于具有较强指数规律的序列，只能描述单调的变化过程。

对于非单调的摆动发展序列或有饱和的 S 形序列，可以考虑建立 GM(2,1)，DGM 和 Verhulst 模型。
GM(1,1)即表示模型是 1 阶的，且只含 1 个变量的灰色模型。而GM(1, N) 即表示模型是 1 阶的，包含有 N 个变量的灰色模型。

步骤：序列预备与检验

数学建模强化宝典（1）级比检验
 预测篇：灰色预测_级比检验-CSDN博客

级比检验：判断数据是否满足准指数规律。级比λ(k)定义为

\begin{array}{r} λ (k) = \frac{x^{(0)} (k - 1)}{x^{(0)} (k)}, k = 2, 3, \dots, n . \end{array}

计算级比序列的平均值、方差等统计量，以了解级比的分布情况。

如果级比的绝对值接近1（通常有一个具体的范围，如 $[0.982, 1.0098]$ ），则说明数据满足准指数规律，适合进行灰色预测分析；如果级比的绝对值远离1，则说明数据不满足准指数规律，可能不适合直接进行灰色预测分析。

步骤：序列生成与参数整定

【数学建模】灰色预测模型（预测）-CSDN博客
再通过级比检验之后，就可以进行灰色预测了。

对于各种各样的灰色系统，常用的灰色系统生成方式有:
(1)累加生成，
(2)累减生成，
(3)均值生成，
(4)级比生成,
(5)加权邻值生成等

我们拿到数列，选择想要套用的GM模型。例如我们选择了GM(1,1)，我们要把手里的数列进行处理，满足模型所需的序列，也就是序列生成。我们想要 $x^{(0)}$ 和 $z^{(1)}$

首先生成累加数列 $x^{(0)} \overset{求和}{\to} x^{(1)}$
再通过加权邻值生成等权邻值生成数 $x^{(1)} \overset{邻值平均}{\to} z^{(1)}$ ，这下我们想要的齐全了
代入灰微分方程，我们的目标就是求出下列灰微分方程中a,b的值

x^{(0)} (k) + a z^{(1)} (k) = b

于是我们构造出以下矩阵对a,b进行求解，其中Y = Bu。

\begin{array}{r} u = [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}], Y = [\begin{array}{c} x^{0} (2) \\ x^{0} (3) \\ \dots \\ x^{0} (n) \end{array}], B = [\begin{array}{c} - z^{1} (2) & 1 \\ - z^{1} (3) & 1 \\ \dots \dots \\ - z^{1} (n) & 1 \end{array}] \end{array}

得到灰微分方程后我们就可以对数据进行预测了。
最后进行检验，本文用了两种常见的检验方式——残差检验、后验差检验

步骤：生成器模型检验

数学建模与数据分析中的灰色预测_灰色微分方程和白化微分方程-CSDN博客

马尔可夫预测

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