Summary

动态数据的固有性质分析

后向差分

通常会用倒三角（梯度算符）表示

δ (n) = u (n) - u (n - 1)

卷积

卷积的本质及物理意义（全面理解卷积） | zdaiot

离散卷积

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 如何通俗易懂地理解FIR/IIR滤波器？ - 知乎
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 乘法的竖式运算与卷积→卷积的本质 - 简书
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一、卷积运算的结果

\begin{matrix} (1) & [1, 2] * [3, 2, 1] = [3, 8, 5, 2] \end{matrix}

二、多项式乘积的结果

\begin{matrix} (2) & H (z) = (1 z^{0} + 2 z^{- 1}) (3 z^{- 1} + 2 z^{- 2} + 1 z^{- 3}) = 3 z^{- 1} + 8 z^{- 2} + 5 z^{- 3} + 2 z^{- 4} \end{matrix}

三、设 $z = 10$ 就是竖式乘法的结果

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} 1.2 \\ \times .32 1 \\ 12 \\ 24 \\ 36 \\ .3852 \end{aligned} \end{matrix}

四、滑动窗口的结果（如果按方括号翻转式就是直接对应，如果按圆括号原式则是对称对应）

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} (1 [2) 1 & ] \\ [3 & , 2, 1] \\ 1 \times 3 = 3 \\ (1 [2 & ) 1] \\ [3 & , 2, 1] \\ 2 \times 3 + 1 \times 2 = 8 \\ (1 [2 & ) 1] \\ [3, 2 & , 1] \\ 2 \times 2 + 1 \times 1 = 5 \\ (1 [2 & ) 1] \\ [3, 2, 1 & ] \\ 2 \times 1 = 2 \end{aligned} \end{matrix}

Pasted image 20250622163854.png

对于更高维的数据，从翻转变成了中心对称。
u(t)可以视为一个波形从左往右撞进了h(t)，每一个时刻，都是最新的u(t)刚刚与h(0)相遇，最初的u(0)刚刚与h(t)相遇。

Question

是否可以据此设计新的基于二进制数码卷积的乘法器电路？

让我们看二、三、四式和一式的关系。
三、四式，实际上是二式的具体计算过程
四式是对双边的排列组合（按数位求和）
三式是对单边的拆分组合（乘法分配律）

二式是大名鼎鼎的Z变换，为数位赋予了时间顺序的意义，把数列运算变成了多项式运算

比方说，第一秒你给怪上了毒，第二秒两个队友给怪叠加上了毒
中毒状态第一秒掉3点血，第二秒掉2点血，第三秒掉1点血
通过多项式乘法，同一时间节点一一对应，就计算出了总的中毒扣血序列

一式就是以上过程的简写，序列的卷积。如果不按二式的计算方法就是如下

x [t] = \sum_{τ = 0}^{t} h [t - τ] u [τ]

如果冲激响应就是 $z$ ，那就是Z变换。频域变换中， $z$ 只是一个时间记号

连续卷积

现在拿出一个存在阻尼但是欠阻尼的弹簧系统。
设输入量为 $u (t)$ ，单位冲激函数为 $δ (t)$ ， $u$ 分解为 $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ 等冲激函数（面积不等），已知元件接受 $δ (t)$ 输入后产生的输出波形为 $h (t)$
Pasted image 20250706111641.png
把连续受力分解为冲激元，以冲激元 $u_{2}$ 为例，它的高度为 $u (2 t)$ ，起始时间延迟了 $2 d t$

u_{2} (t) = d A_{2} \cdot δ (t - 2 d t) = u (2 d t) d t \cdot δ (t - 2 d t)

而输出的波形也就是

冲 激 增 幅 强 度 \times 延 迟 输 出 响 应 = d A_{2} \cdot h (t - 2 d t) = u (2 d t) d t \cdot h (t - 2 d t)

输入冲激的累加，就是输入信号本身。
输出响应的累加，就是输出信号本身。
冲激响应，可能是振荡，可能是衰减，总之都是(t-τ)的函数h(t-τ)
微元地累加，这是个积分，卷积的定义，由此诞生。

x (t) = \int_{0}^{t} u (τ) h (t - τ) d τ = u (t) * h (t)

Note

如果冲激响应是 $e^{s}$ ，那就是拉普拉斯变换。频域变换中， $e^{s}$ 也只是一个时间记号（只是由傅里叶级数的特性，正好可以对应到频率上去）

Question

高数课本第四章里面好像出现过？我当时是画三维图解决的

一个函数h即可描述这个算子对信号的加工作用。知道了元件的h，我们就可以根据u来求出x

微分方程可以描述元件，卷积的核函数也可以描述元件。
求解输出的过程，可以是求解微分方程的过程，也可以是求解卷积运算的过程。

点积、正交，函数与向量的关系

用 $\int_{a}^{b} f (t) g (t) d t$ 来代表函数的点积，
可以理解为：函数是“维度连续的向量”，向量是“定义域离散的函数”

周期卷积

线性卷积，循环卷积（圆卷积），周期卷积——总结 - 知乎

循环卷积

能量

E n e r g y = \sum_{n = - \infty}^{\infty} | x [n] |^{2}

变换

数学中的各种变换（Transformation） - 知乎

傅里叶级数：周期函数的变换

从傅里叶级数到傅里叶变换 (From Fourier Series to Fourier transform)
FS，FT，DFS，DTFT，DFT，FFT的联系和区别 - 骏骏 - 博客园
在一定的条件下，任何周期为 T 的函数 f(t) ，都可用一系列以 T 为周期的正弦函数所组成的级数来表示。由于（积化和差） $\int_{- π}^{p i} s i n (k x) \times (1) d x = \int_{- π}^{p i} c o s (k x) \times (1) d x = 0$ 且

\begin{array}{r} \int_{- π}^{π} s i n (k x) s i n (n x) d x = {\begin{matrix} 0 (n \neq k) \\ π (n = k) \end{matrix} \\ \int_{- π}^{π} c o s (k x) c o s (n x) d x = {\begin{matrix} 0 (n \neq k) \\ π (n = k) \end{matrix} \\ 被 积 函 数 为 奇 函 数 ， \int_{- π}^{π} \sin (k x) \cos (n x) d x = 0 \end{array}

对应于向量的正交分解，这就是函数的正交分解。

f (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{x} (a_{n} \cos n x + b_{n} \sin n x)

正如向量正交分解出的坐标为向量在各个方向的投影，
傅里叶级数确定系数的方式也是求投影，系数就是投影得到的坐标。
对常函数 $g (x) = 1$ 方向点积求投影：

\int_{- π}^{π} f (x) d x = \int_{- π}^{π} \frac{a_{0}}{2} d x + \sum_{n = 1}^{π} (a_{n} \int_{- π}^{π} \cos n x d x + b_{n} \int_{- π}^{π} \sin n x d x) = π a_{0}

对 $g (x) = c o s (m x)$ 方向点积求投影：

\int_{- π}^{π} f (x) \cos m x d x = \int_{- π}^{π} \frac{a_{0}}{2} \cos m x d x + \sum_{n = 1}^{π} (a_{n} \int_{- π}^{π} \cos n x \cos m x d x + b_{n} \int_{- π}^{π} \sin n x \cos m x d x) = π a_{n}

对 $g (x) = s i n (m x)$ 方向点积求投影：同理

对于周期宽度不同的函数，替换掉系数π，也就是仿射变换即可。

f (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos \frac{n π}{l} x + b_{n} \sin \frac{n π}{l} x)

代入系数得

f (x) = \frac{1}{2 l} \int_{- l}^{l} f (t) d t + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{l} \int_{- l}^{l} f (t) \cos \frac{n π}{l} (x - t) d t

其中设

\begin{array}{r} φ_{l} (ω) = \frac{1}{π} \int_{- l}^{l} f (t) \cos ω (x - t) d t \\ ω_{n} = \frac{n π}{l}, Δ ω_{n} = ω_{n} - ω_{n - 1} = \frac{π}{l} (n = 1, 2, \dots) \end{array}

这就是受频率影响的卷积 $φ$ 的无穷级数。（这里的卷积有没有物理意义？）

f (x) = \frac{1}{2 l} \int_{- l}^{l} f (t) d t + \sum_{n = 1}^{\infty} φ_{l} (ω_{n}) Δ ω_{n}

Note

尝试用指数形式表示：
进一步，推广到复数域。我们知道 $e^{- i k x}$ 与 $e^{i n x}$ 是正交的（内积为0），即：

\int_{- π}^{π} e^{- i k x} e^{i n x} d x = {| \frac{e^{i (n - k) x}}{i (n - k)} |}_{- π}^{π} = 0 . (n \neq k)

也就是说 $e^{i k x}$ 是希尔伯特空间的一组正交基。注意此处复数内积运算，需乘其共轭 $e^{- i k x}$ 。

则任何一个周期函数 $f (x)$ 可以表示为：

f (x) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n x} .

若求 $c_{k}$ ，仍为求投影，即两边同乘 $e^{- i k x}$ ，然后在一个周期内积分即可：

\int_{- π}^{π} f (x) e^{- i k x} d x = \int_{- π}^{π} c_{0} e^{- i k x} d x + \int_{- π}^{π} c_{1} e^{i x} e^{- i k x} d x + \int_{- π}^{π} c_{- 1} e^{- i x} e^{- i k x} d x + . . . + \int_{- π}^{π} c_{k} e^{i k x} e^{- i k x} d x + . . .

则上式右端积分中只有 $\int_{- π}^{π} c_{k} e^{i k x} e^{- i k x} d x = 2 π c_{k}$ ，其他都为0，即：

c_{k} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) e^{- i k x} d x ，

$f (x)$ 是连续的， $c_{k}$ 是间断的。

对于三角函数系、虚指数函数系，从-l到l还是从0到2l，应该是没有影响（诱导公式）

离散傅里叶级数：周期数列的变换

离散信号（四）| 周期信号 |离散傅里叶级数（DFS）推导 + 主要性质（周期卷积定理、帕斯瓦尔定理）帕塞瓦尔定理离散信号-CSDN博客
类似于傅里叶级数的复数形式，对于截取长度为N的数列，截取周期为N，对应的角频率为2π/N
注意，接下来的n其实不是角频率， $w = n \frac{2 π}{N}$ 为递增的角频率，n只是一个递增的循环变量
由于是离散量，角频率的范围不再是0到+∞，而是0到 $\frac{N - 1}{N} 2 π$ （0为截距，n=1正好跨整个长度，n=N相当于每个采样点都是周期的端点，采集到的只可能是常量）
周期为N的周期序列{a_n}，其离散傅里叶级数为

x [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} a_{n} \cdot e^{j n \frac{2 π}{N} k}

其中，DFS的逆变换序列

a_{n} = \frac{1}{2 π} \frac{2 π}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k] \cdot e^{- j n \frac{2 π}{N} k} \times 1

离散信号，也没有周期到正无穷的说法，所以离散傅里叶变换的形式和离散傅里叶级数的形式一样

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j (2 π / N) k n} ， 其 中 (0 \leq k \leq N - 1)

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j (2 π / N) k n}

傅里叶变换：非周期函数的变换

(48 封私信 / 80 条消息) 傅里叶级数和傅里叶变换是什么关系？ - 知乎
傅里叶变换将周期推广到无穷，能对具有任意长度的信号做展开。
对于非周期函数，先裁剪到 $[- l, l]$ 范围内，然后裁剪范围无限延展，周期 $l \to + \infty$ ，无穷级数无限细分，变成了广义积分
而 $φ$ 本身也从定积分变成了广义积分，
在 $\int_{- \infty}^{+ \infty} | f (x) | d x$ 收敛时即可判为收敛，即可写出广义积分形式

φ_{l} (ω) = \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) \cos ω (x - t) d t

$\int_{- \infty}^{+ \infty} | f (x) | d x$ 收敛时， $\frac{1}{2 l} \int_{- l}^{l} f (t) d t$ 趋近于零可以扔掉，于是，一个函数的“受频率影响的卷积变换”关于频率的积分，就是这个函数本身。

f (x) = \frac{1}{π} \int_{0}^{+ \infty} d ω \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) \cos ω (x - t) d t

Note

尝试用指数形式表示

f (x) = \frac{1}{π} \int_{0}^{+ \infty} d ω \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) \frac{e^{i ω x} e^{- i ω t} + e^{- i ω x} e^{i ω t}}{2} d t

拆分

f (x) = \frac{1}{π} \int_{0}^{+ \infty} d ω \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) \frac{e^{i ω x} e^{- i ω t}}{2} d t + \frac{1}{π} \int_{0}^{- \infty} d (- ω) \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) \frac{e^{i (- ω) x} e^{- i (- ω) t}}{2} d t

后半段变换积分区间（令ω=-ω）

f (x) = \frac{1}{π} \int_{0}^{+ \infty} d ω \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) \frac{e^{i ω x} e^{- i ω t}}{2} d t + \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{0} d ω \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) \frac{e^{i ω x} e^{- i ω t}}{2} d t

结果

f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{i ω x} d ω \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) e^{- i ω t} d t

类似傅里叶级数的复数形式（或许是出于对称性），傅里叶变换便是这么定义的：

\begin{array}{r} F (ω) = F [f (t)] = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) e^{- i ω t} d t \\ f (t) = F^{- 1} [F (ω)] = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} F (ω) e^{i ω t} d ω \end{array}

可以看到，无非是把 $f (x)$ 的形式从无穷级数变成了广义积分

拉普拉斯变换：非周期发散函数手动收敛

本身就是针对积分发散的函数来的，那假如对周期函数来这一出，那周期函数也不周期了，何苦呢，所以没有“拉普拉斯级数”
(48 封私信 / 80 条消息) 一个信号存在傅里叶变换就一定存在拉普拉斯变换吗？ - 知乎
对信号 $f$ 取正半轴 $u (t)$ 、指数衰减 $e^{- β t}$ 后再傅里叶变换，也就是对 $f$ 拉普拉斯变换，得到信号 $F$ 。

\begin{aligned} f (t) u (t) e^{- β t} & = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} [\int_{- \infty}^{+ \infty} f (τ) u (τ) e^{- β τ} e^{- i ω τ} d τ] e^{i ω t} d ω \\ = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{i ω t} d ω \int_{0}^{+ \infty} f (τ) e^{- (β + i ω) τ} d τ \\ = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} F (β + i ω) e^{i ω t} d ω (t > 0) \end{aligned}

两边同乘 $e^{β t}$

f (t) u (t) = f (t) |_{t > 0} = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} F (β + i ω) e^{(β + i ω) t} d ω

拉普拉斯变换和其逆变换一目了然。这其实体现了指数衰减函数在傅里叶变换里面一个“自由穿行”的特性（微分算子的移位法则！），我既可以参与τ的积分，也可以出来作为ω的参数
拉普拉斯逆变换，是先对已衰减结果进行傅里叶逆变换，再除去指数衰减函数的过程，压缩——变换——逆变换——解压，正是因为 $e^{β t}$ 和ω无关，压缩和变换两个过程不会相互干扰。

拉普拉斯变换是附带预处理衰减的傅里叶变换，傅里叶变换是拉普拉斯变换的不做衰减的特殊形式

奇怪的东西

拉普拉斯级数 -- 来自 - 数学天地啥？这和信号与系统有关系吗？
信号的正交分解与广义傅里叶级数 - 知乎和拉普拉斯没啥关系
(48 封私信 / 80 条消息) 震惊！Laplace变换的本质竟然是…… - 知乎这只是对拉普拉斯变换后的频域函数进行展开罢了

离散时间傅里叶变换：非周期数列的变换

离散信号（六）| 非周期信号 | 离散时间傅里叶变换（DTFT）+ DTFT、DFS及CTFT之间的关系_dtfs和ctft和dtft和dtfs之间转换-CSDN博客
 【信号与系统学习笔记】—— 离散时间非周期信号的傅里叶变换（DTFT)【概念+性质一站式全解析】-CSDN博客
 (48 封私信 / 80 条消息) 离散时间傅里叶变换（DTFT）、离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）之间的联系和区别 - 知乎
 FS，FT，DFS，DTFT，DFT，FFT的联系和区别 - 骏骏 - 博客园
 DFT与DTFT区别是什么？ - 知乎

DFT和DTFT的区别

DFT针对有限长信号，DTFT针对无限长信号。DTFT是N→∞时DFT的极限。

对离散傅里叶级数，让N趋近于正无穷

x [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} (\frac{1}{2 π} \frac{2 π}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k] \cdot e^{- j n \frac{2 π}{N} k}) \cdot e^{j n \frac{2 π}{N} k}

在连续傅里叶变换中， $\frac{1}{N}$ 分给了外层来构成积分，不是从无穷级数变的而是从数列求和变的，毕竟+∞都收敛了，上标从+∞变成了N-1应该也收敛（区间长度的比较吧），但是极限结果不一样。 $\frac{n 2 π}{N}$ 作为积分变量的话，积分上限应该是 $\frac{N - 1}{N} 2 π \to 2 π$ 。不是广义积分而是定积分
要求内层从数列求和变成级数求和，
$lim_{N \to + \infty} \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k] \cdot e^{- j n \frac{2 π}{N} k}$ 收敛，类似广义积分的审敛法，用无穷级数的审敛法，根据 $\sum_{k = 0}^{+ \infty} | x [k] |$ 来判为收敛。
额外的充分条件： $\sum_{k = 0}^{+ \infty} | x [k] |^{2}$ 收敛也可

结果（抄网上的，周期还是平移到对称的区间了）

x (n) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} X (e^{j ω}) e^{j ω n} d ω

X (e^{j ω}) = D T F T [x (n)] = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n) e^{- j ω n}

离散时间拉普拉斯变换：非周期数列手动收敛，应该就是Z变换

或许可以把信号进行指数衰减后再进行DTFT，那就是离散时间拉普拉斯变换了。看看后面的推导，其实应该就是Z变换中， $X (z) |_{z = e^{s}}$ 的情况

连续Z变换，就是拉普拉斯变换：积分发散函数的变换

说一下连续 - 离散（s-z）系统的转换，和数值积分 - 知乎
 s到z变换详解-CSDN博客
 N5650_3.pdf

那么傅里叶变换和拉普拉斯变换，会不会是某种“连续的Z变换”呢？

猜想：

\begin{aligned} x [n] & = \int_{- \infty}^{+ \infty} x [k] δ (n - k) d k \\ \overset{柯 西 积 分 定 理}{=} \int_{k = - \infty}^{+ \infty} x [k] \frac{1}{2 π j} \oint_{C} z^{n - k - 1} d z \\ = \frac{1}{2 π j} \oint_{C} \int_{k = - \infty}^{+ \infty} x [k] z^{n - k - 1} d z \end{aligned}

Laplace transform

N5650_3.pdf
A generalization to the Fourier transform of a sequence is the z-transform. In the continuous-time the corresponding generalization is the Laplace transform.

啊……别猜了！看看拉普拉斯变换（单边）吧！

F (s) = \int_{0}^{+ \infty} f (t) e^{- s t} d t

令 $s = \ln z$ ，那不正是

X (z) = \int_{0}^{+ \infty} f (t) z^{- t} d t

好吧，洗洗睡了

Z变换，就是离散拉普拉斯变换：求和发散数列的变换

如何通俗的理解z变换？ - 知乎
 信号与系统(7)——Z变换 - 知乎
 [离散时间信号处理学习笔记] 8. z逆变换 - TaigaComplex - 博客园
 频域信号分析基础-33 z逆变换 - 知乎

式中C表示的是收敛域内的一条闭合曲线：

\begin{aligned} x [n] & = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x [k] δ (n - k) \\ \overset{柯 西 积 分 定 理}{=} \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x [k] \frac{1}{2 π j} \oint_{C} z^{n - k - 1} d z \\ = \frac{1}{2 π j} \oint_{C} \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x [k] z^{n - k - 1} d z \end{aligned}

得到Z变换及逆变换

x [n] = \frac{1}{2 π j} \oint_{C} X (z) z^{n - 1} d z

双边变换： $\begin{array}{r} X (z) = Z {x [n]} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] z^{- n} \end{array}$
单边变换： $\begin{array}{r} X (z) = Z {x [n]} = \sum_{n = 0}^{\infty} x [n] z^{- n} \end{array}$

由信号与系统(4)——离散时间傅里叶变换中讲解的DTFT的表达式：

\begin{aligned} X (e^{j w}) & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j w n} \end{aligned}

可以得到Z变换与DTFT之间的关系，即

X (e^{j w}) = X (z) |_{z = e^{j w}}

故DTFT是单位圆上的Z变换！！！

短时傅里叶变换

傅里叶变换、小波变换、拉普拉斯变换学习笔记 - 知乎
 从傅里叶(Fourier)变换到伽柏(Gabor)变换再到小波(Wavelet)变换_gabor变换-CSDN博客
 MATLAB信号处理（5）常见窗函数的使用 - 知乎
 几种常见窗函数的特性 - 知乎
 傅里叶变换中的不确定性原理（一） - 知乎

Note

对于频率随着时间变化的非平稳信号，直接进行傅里叶变换容易丢失时域上的频率变化信息

拉普拉斯变换给信号手动乘上指数衰减，而短时傅里叶变换给信号手动乘上窗函数

\begin{array}{r} G (w, u) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) g (t - u) e^{- i t w} d t \end{array}

$g (s)$ 代表窗函数，把无限长的信号截断成了仅一段时间的信号。

上图原始f(t)在窗函数作用下，只有红色窗函数部分起作用。
例如矩形窗的定义

\begin{array}{r} w (n) = {\begin{cases} 1, & n = 0, 1, \dots, M \\ 0, & 其它 \end{cases} \end{array}

可以取矩形窗、Hanning窗、Hamming窗、Gauss窗等等。一般把取Gauss窗函数的称为Gabor变换

定义基函数为

\begin{array}{r} Ψ_{t, ω} (s) = g (s - t) e^{j ω s} \end{array}

对于不同位置的窗口进行短时傅里叶变换，得到三维时频图。

Note

窗太窄，对频率的分辨差；窗太宽，对时间的分辨差

Question

可以用海森堡不确定性原理来解释。类似于我们不能同时获取一个粒子的动量和位置，我们也不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。这也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在，我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。所以绝对意义的瞬时频率是不存在的。

离散短时傅里叶变换

离散短时傅里叶变换（DSTFT）公式推导 - 知乎

小波变换

The Wavelet Tutorial
形象易懂讲解算法I——小波变换 - 知乎
 一文带你理解小波分析(附详细代码) - 知乎
 小波分析——2. 小波函数及其逆函数_haar小波函数的公式-CSDN博客

Gabor变换时频窗口的大小、形状不能随频率的变化而变化
- 因为信号的频率与周期成反比，对高频部分希望能给出相对较窄的时间窗口，以提高分辨率
- 在低频部分则希望能给出相对较宽的时间窗口，以保证信息的完整性
Gabor变换基函数不能成为正交系，因此为了不丢失信息，在信号分析或数值计算时必须采用非正交的冗余基，这就增加了不必要的计算量和存储量。

什么是小波呢？所谓小波就是小的波形，“小”即具有衰减性，“波”是指具有波动性。

在说“小波(wavelet)”之前得先说“波(wave)”：